Mit jelent a várható érték?
A számítás gondolata egyszerű. Minden lehetséges eredményt megszorzunk a hozzá tartozó valószínűséggel, majd ezeket összeadjuk. Így kapjuk meg az összes lehetséges kimenetel valószínűséggel súlyozott átlagát.
Egy szabályos érme esetén legyen fejre 100 forint nyereség, írásra 100 forint veszteség. Mindkettő esélye 50 százalék. Az átlagos érték így nulla forint.
Kaszinójátékoknál ugyanez a gondolat működik, csak több kimenetellel és eltérő kifizetésekkel. A magyar online kaszinókat, játékokat, bónuszokat és fizetési adatokat összegző Magyar.casino.hu például külön rulett- és egyéb játékismertetőket is közöl. A várható érték kiszámításához mindig az adott játék pontos szabályai és kifizetései szükségesek.
A dobókocka gyorsan megmutatja a lényeget
Vegyünk egy egyszerű dobókockás játékot. Hatost dobva 300 forint a nyereség, minden más eredménynél 60 forint a veszteség. A hatos esélye egyhatod, a többi eredményé öthatod.
A számítás két részből áll. A 300 forintos nyereség súlyozott értéke 50 forint. Az öt vesztes kimenetel együtt ugyanekkora, 50 forintos átlagos veszteséget ad.
A várható érték tehát nulla. Ettől még az első dobás eredménye lehet 300 forintos nyereség vagy 60 forintos veszteség. A nulla itt hosszú távú átlagot jelent, nem egy konkrét dobás előrejelzését. Érdemes három dolgot külön kezelni:
- Az esély megmutatja, milyen gyakori lehet egy kimenetel.
- A kifizetés megmutatja, pénzben mit ér az adott eredmény.
- A várható érték a két információt egyetlen átlagos számmá kapcsolja.
Ezek közül egyik sem mondja meg a következő eredményt. Viszont együtt már jól összehasonlíthatóvá tesznek egyszerű véletlen helyzeteket. Ugyanezért hasznos a módszer kártyánál vagy sorsolásnál is.
Egy kártyahúzásnál már könnyű félrenézni
Egy 52 lapos pakliban négy ász van. Tegyük fel, hogy ásznál 500 forint jár, minden más lapnál 50 forint a veszteség.
Az ász valószínűsége 4/52, a többi lapé 48/52. A nyerő rész várható hozzájárulása körülbelül 38,46 forint. A vesztes oldalon körülbelül 46,15 forint áll.
Egy húzás várható értéke így nagyjából mínusz 7,69 forint. Ettől valaki rögtön húzhat ászt és nyerhet 500 forintot. Az egyedi eredmény és a matematikai átlag két külön információ.
A rulettnél a nulla is számít
Az európai rulettnél 37 mező szerepel, köztük egy nulla. Egy piros-fekete típusú fogadásnál 18 piros szám áll szemben 19 nem piros eredménnyel. Az európai rulett szabályainál ezért minden lehetséges tétkombinációnál megjelenik a bank matematikai előnye.
Ha 100 forint kerül pirosra, nyeréskor 100 forint a nettó nyereség. A másik 19 eredménynél a tét elveszik. A várható nettó eredmény körülbelül mínusz 2,70 forint minden 100 forintnyi ilyen tétre.
Ez nem jelenti azt, hogy minden kör pontosan 2,70 forint veszteséget hoz. Egy pörgetés csak nyer vagy veszít. A mínusz 2,70 forint sok azonos szabályú próbálkozás matematikai átlaga.
A ritka események könnyen becsapják az intuíciót
A lottónál az emberi megérzés különösen bizonytalan. Egy nagyon ritka esemény bekövetkezése után könnyű utólag olyan történetet keresni, amely valószínűbbnek érződik.
A Qubit egy lottós valószínűségi feladványban éppen ezt mutatja meg. A cikk egyetlen Hatoslottó-szelvény telitalálatának esélyét 1 a 8 145 060-hoz adja meg. Ezután azt vizsgálja, hogyan változik az érvelés, ha valaki egy vagy ezer szelvényt vett.
A nagy szám önmagában még nem elég. Tudni kell, milyen esemény valószínűségéről beszélünk, és milyen feltételek mellett. Más kérdés a nyerés esélye, és más annak valószínűsége, hogy pontosan egy meghatározott számsor nyer.
Egy próbálkozás nem hosszú táv
A várható érték akkor kezd igazán értelmet nyerni, amikor ugyanaz a helyzet sokszor ismétlődik. Tíz dobás után az átlag még könnyen távol lehet a számított értéktől. Nagyobb mintánál az eltérések általában kevésbé uralják az átlagot.
Ezért nincs ellentmondás egy pozitív egyedi eredmény és egy negatív várható érték között. Valaki nyerhet egyetlen húzással, pörgetéssel vagy sorsolással. A számítás nem ezt a konkrét pillanatot próbálja megjósolni.
A jó kérdés inkább az, mi történne ugyanilyen szabályok mellett sok ismétlés során. Ehhez kell az összes kimenetel, a hozzájuk tartozó valószínűség és az eredmények értéke. Ha ez a három adat megvan, a várható érték már egyszerű számolás.
